“导数在研究函数单调性中的应用”的教学设计与反思 (袁云)

文 / 王霞 责编 / 王霞 2017-11-03 点击 6063

  1. 教学目标
  1. 借助几何直观探索并应用函数的单调性与导数的关系,能利用导数研究函数的单调性;能由导数的信息绘制函数的大致图象。
  2. 培养学生的观察能力、归纳能力、增强数形结合的思维意识。
  1. 教学重点和难点

重点:探索并应用导数研究函数的单调性。

难点:发现和揭示导数的符号与单调性的关系。

  1. 教学方法

发现式、启发式、多媒体课件

  1. 教学过程
    1. 引言

展示一组过山车的图片,和同学交流坐过山车冲入云霄又坠入谷底的感觉。提出从数学的角度看游客的位置与时间之间的关系,学生很快说出是函数关系。那么上升和下降过程中,函数值的变化可以用函数的哪个性质描述呢,学生立刻联想到单调性,从而引入本节课研究的问题,进一步研究函数的单调性。

  1. 问题导入 

问题1   求函数的单调区间。

师:同学们思考一下如何求这个函数的单调区间?

生:画出函数的图象,对称轴为x=2,开口向上,所以单调增区间:(2,+∞)单调减区间:(-∞,2)。

师:从图象看就能确定一定是单调的吗?

生:可以用定义证明。

师:请问单调性的定义是什么?以单调增为例。

生:在区间上任取,都有成立。

师:非常好。刚才同学们从形的角度即图象读出函数是上升还是下降的,从而指出单调区间。又从数的角度进行了论证。下面继续看函数,怎么求它的单调区间。

生:用定义。

师:为什么不画图?

生:不会画。

师:求单调区间最直接的方法就是从形的角度去看,无法画出图象就选择定义解决,那么继续看,怎么求它的单调区间。

生:图不会画,定义也用不了了,因为一正一负,确定不了符号。

师:从形的角度和数的角度都解决不了,只有另辟途径,大家思考一下还有什么办法?

生:导数。导数的几何意义是切线的斜率。感觉可以。

师:导数的实质是瞬时变化率,也是研究变化趋势的。应该可以,不妨我们来研究下一个问题。

问题2   导数和函数的单调性有什么联系?

师:导数几何意义是切线的斜率,那么在刚才的函数图象上分别取点作出该点处的切线,观察有什么规律。

生:在对称轴左侧的点切线的倾斜角为钝角斜率为负,在对称轴右侧的点切线的倾斜角为锐角斜率为正。

师:回顾导数的几何意义,说明了什么?

生:在对称轴左侧导数值为负,函数递减。右侧为正,函数递增。

师:这样就是说函数的单调性与导数有密切联系,你能说出一般性结论么?

生:一般地,对于函数

   若 ,则在区间D上是单调增函数。

   若, 则在区间D上是单调减函数。

师;我们从形的角度得到一般性的结论能不能从数的角度进行论证呢?

老师一边指引学生一边在黑板上板书论证过程。导数本质瞬时变化率是由平均变化率逼近而来,导数大于0则平均变化率大于0.由表明分子分母同号。进而满足定义。

师:找出了导数与单调性的联系,我们回头解决刚才的问题。

    老师带领学生一起解决,老师板演。

例1求函数的单调增区间。

    解:

     令

     函数的单调增区间为

例2 求函数单调减区间。

   解:

     令

     函数的单调减区间为

针对例1有人把区间合并,例2有人忽略了定义域,写成进而提出问题。

师:求单调区间注意什么?

生:单调区间不能并,要用逗号隔开或者和连接,还要注意定义域。

问题3:利用导数判断函数单调性的基本步骤?

生:(1)确定函数的定义域;(2)求导数

(3)在函数的定义域内解不等式

(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间.

      学生口述,老师板书。

师:根据总结的步骤完成下题。

练习:求的单调增区间。

   解:

      令

      所以函数的单调增区间为

师:如果知道了函数的单调增区间为要你证明函数在这个区间上是递增的,怎么做?

问题4 如何证明一个函数在某个区间上单调呢?

生:可以先求导,然后证明导函数在这个区间上是正的或负的。

师:我们利用导数可以求一个函数的单调区间及证明一个函数在某个区间上是单调的。那么我们先前无法做出的函数图象可以借助导数做出来吗?

问题5  如何利用导数大致的作出函数的图象呢?

生:求出利用递增递减区间画出函数的图象

 

师:导数与函数单调性联系如此紧密,不仅可以利用导数求单调区间还可以画出原函数的大致图象,这都离不开结论。回头看结论大家想一想,反过来成立吗?

问题6如果函数在某个区间上是单调增的,一定有在这个区间上成立吗?

学生举出反例,在实数R上单调增,但。所以反之不成立。

师:本节课你有哪些收获?

生:学会了用导数求单调区间,学会了用导数画图象。

小结:

1.导数的符号反映了函数在某个区间上的单调性;

2.利用导数求函数的单调区间的一般步骤;

3.体会了数形结合、由特殊到一般、函数与方程、算法的数学思想。

  1. 教学反思

本节课主要以如何求函数的单调区间为主线,以数到形,形到数的切换为辅线。实现从观察到发现到验证到应用的一个过程。高中数学课程强调揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。本节课通过典型例子的引入和学生自主探索活动,使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程,体会蕴涵在其中的思想方法——特殊到一般的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想、算法的思想,使学生认识到导数比单调性更加精确地反映函数的变化趋势,自主探究过程过渡自然,拉近了学生与研究问题的距离,有利于发挥学生思维的主动性,突破教学难点。

5.1问题的引入环节,以一个具体的函数为例回顾了函数的单调性的判断方法,定义法和图像法。体会了图象法的便捷和定义法的严谨。同时给出了一个三次函数,发现图像法和定义法都很难解决,进而想到还有没有其他方法。学生充满好奇的求知欲,激发学生积极主动的参与思考。

5.2探索函数单调性与导数关系,采用问题串的形式逐步递进,层层深入。首先有学生想到导数,于是通过回忆导数的几何意义是图象上某点处切线的斜率,本质是瞬时变化率。都体现了函数的变化。进而从形的角度进行观察。通过观察已有的二次函数的切线归纳出递增区间切线斜率为正,递减区间切线斜率为负。学生通过观察、发现、归纳、总结。充分体验了知识发现、发生的过程,变被动为主动。接着从数的角度进行验证。导数大于0,推出平均变化率大于0,推出,进而证得。考虑到课堂容量,没有提导数在个别点处为0,不影响函数单调性的情况。

5.3应用导数求单调区间环节,主要通过回头解决一开始提出的三次问题,一方面做到解决问题有始有终,一方面总结出解决问题的一般步骤,一举两得。同时通过题目的变化将函数变为有定义域限制得三角函数,还有指数函数。一方面让学生规范解题步骤,同时体验导数方法应用的广泛性。最后应用导数知识画出三次函数的大致图象,实现了由形到数,再由数到形的双向通道,让学生充分感悟数形结合的思想。

5.4小结部分,首先让学生回忆一节课所学重要内容,学生之间相互补充,不断的丰盈所学内容,最后老师加以总结和强调。

本节课成功之处1)注重教学设计,体现了学生主体教师主导的精神精心设计了问题串,逐步递进环环相扣。2)注重探究方法和数学思想的渗透。教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点,从图像上发现关系,再从理论上探究验证,这个过程中既让学生获得了新知,又让学生体会到研究一个新问题得探究方法。同时也渗透了归纳推理的数学思想方法。3)突出学生主体地位,通过抛出的若干问题,促使学生主动探索、积极思维。充分发挥学生的主动性,让学生在动脑、动口、动手的活动中掌握知识和方法,提炼规律。并体验发现规律的喜悦,激发学习数学的热情。总之一节课下来师生之间感觉非常融洽。美中不足的是最后一个问题的处理由于时间关系显得有些仓促,可以留在课后思考。多媒体应用方面可以再提高制作水平。还有一些不足之处我将不断发现和改进