导数在函数单调性中的应用(凡森泉)

文 / 凡森泉 责编 / 凡森泉 2017-11-03 点击 4524

《导数在研究函数中的应用——单调性》教学设计与反思                                             

  1. 教材分析

    本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学选修2-1》(苏教版)第一章函数及其应用-单调性,主要内容是学习导数在求函数单调区间中的作用。一来可以对之前常见函数求导和运算法则进行加深巩固,其次也是导数作为工具研究函数最值等性质,还原函数图像的基础。在高考中占有举足轻重的地位。

  2. 学生学习情况分析

    本节课的教学对象是高二理科班学生,对于导数的基本运算应该掌握的不错,但是本节课所要用的函数基础知识,不等式解法等前期学习的内容遗忘的比较多,而且学生个体情况差异较大,这都增加了本节课的难度,教师必须要认识到这一点,教学中要控制难度要求,关注学生学习过程。

    三、设计意图

    本节课以建构主义基本理论为指导,以新课标基本理念为依据进行设计的,针对学生的学习背景,对导数在单调性中的应用首先要挖掘其知识背景贴近学生实际,其次,激发学生的学习热情,把学习的主动权交给学生,为他们提供自主探究、合作交流的机会,确实改变学生的学习方式。要结合实例,借助几何图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系。

    本节课采用教师设问启发引导,学生探究学习的教学方法,通过情景创设,引导探究,师生交流,形成概念,获得方法,综合应用。本节课使用多媒体辅助教学,为学生提供直观感性材料,有助于对学生对问题的理解和认识。

    四、教学目标

    1、知识与技能:通过实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系;理解并掌握如何由导数判断函数的单调区间及增减性.

    2、过程与方法:会用导数判断函数的单调性,并用其知识解决一些实际问题.

    3、情感态度与价值观:体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学自身发展的一般规律.

    五、教学重点与难点

    教学重点:利用导数判断函数单调性的方法

    教学难点:f(x)0fx)增函数的充分条件.

     

     

     

     

    六、教学过程设计                    

    教学流程:创设情景 引出课题  师生活动→  形成理论 → 问题解决→ 提升应用→ 归纳总结

    (一)熟悉背景、引入课题

    师:我们先前学习了导数的定义,学习了常见导数求导法则和运算法则,复合函数求导,而我们学习这一切为了什么呢?

    师:其实导数在高中部分的学习,很大程度上都是作为工具用来研究函数的性质,比如说,函数的单调性,最值,都可以通过导数的运算辅助得出,而且又快有准。这节课我们以单调性为例来看看导数的作用。我们先来想想,函数单调性通常有哪些方法可以处理。

    生1.可以通过函数图像观察得到函数的单调区间。

    师:对(投影给出图像1,2并提出问题,生也能很好的回答)

    问题1 :讨论函数的单调性 .

    问题2 :讨论函数的单调性。  

     

     

     

     

     

     

     

     

                              

    师:还有没有其他有效地办法。

    生2.还有函数单调性的定义法。

    师:很好,函数的单调性定义是先前我们完成函数单调性证明的唯一方法,谁能回顾下较完整的单调性定义?

    生3.一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值,当时,若,那么f(x)在这个区间上是增函数.相反如果,那么f(x)在这个区间上是减函数.

    师:(一是帮助学生整理定义,二是提醒学生用词的准确性,比如任取,定义域等)对,我给你们三个函数,你们帮我求出函数单调区间。

    问题3 :求下列函数单调性

    1.

    2. 

    3. 

    生4:又画不出图像,定义法又太繁琐,不会求。

    师:恩,这节课我们就来探求一下导数对函数单调性的帮助。

    [设计意图:考虑到多数高中生的认知特点,为了有助于他们对导数对函数单调性作用的理解,不妨从学生自己的已有知识和实际问题入手”。因此,新课引入让学生充分熟悉已有概念和它的知识背景,提出问题,让学生形成强烈的求知欲。从而自然地导入课题。]

    (二)师生活动,构建新知

     1.确定探究问题

    师:我们回到单调性定义,以增函数为例,观察的正负符号,如何数学表示

    生5:同号,可以用表示。

    师:还可以用其他方法表示吗?

    生5:

    师:对,你再细细看看你所表达的东西像什么?讨论总结一下。

    生:平均变化率,就是如果函数单调递增了,就是区间内任取两点的平均变化率大于零,也就是割线斜率大于0。

    师:你说是可以“任取”,那么我们干脆把两个点无限靠近。你们觉得可以得到什么。

    生6:瞬时变化率,就是某点切线的斜率,应该是区间内任意一点切线的斜率都大于0,或者说如果函数单调递增,函数区间内任意一点处的导数都是大于零。

    师:总结(数形结合)

        

     

    增函数有         f(x)>0

     

    师:以刚才所说的二次函数为例,我们看到图像。